Question

Exista a,b∈ Z astfel incat deschidem para dreapta a,b inchide para dreapta ⊂ R/Q? Dar daca a,b ∈Q?

Answer 1

Cu alte cuvinte, trebuie sa aratam daca exista 2 numere astfel incat intre ele sa fie doar numere irationale.

Mai intai trebuie sa aratam ca intre oricare doua numere rationale diferite exista un numar rational.
* stim ca produsul si suma dintre 2 numere intregi este tot un numar intreg.(ne va ajuta)


Fie x < y ,      x, y ∈ Q  ==>  x = a₁ / b₁  si y = a₂ / b₂ ,  unde b₁, b₂ ≠ 0 si
a₁, b₁, a₂, b₂ ∈ Z  (Definitia unui numar rational)

Facem media aritmetica, valoare care se va afla intre x si y:

m = (x + y) / 2 = (a₁ / b₁ + a₂ / b₂) / 2 = (a₁b₂ + a₂b₁)  / (2b₁b₂)

-  a₁b₂, a₂b₁ si b₁b₂ sunt produse de numere intregi  ==>  Si acestea sunt numere intregi
-  (a₁b₂ + a₂b₁)  este suma de numere intregi  ==>  Si aceasta este numar intreg

Asadar, numitorul si numaratorul fractiei sunt numere intregi  ==>  m este numar rational

Am spus la inceput ca: x < m < y  ==>  Intre oricare 2 numere rationale diferite exista un numar rational


Acum ne intoarcem la problema noatra. Trebuie sa vedem daca exista doua numere intregi a, b, astfel incat (a, b) sa cuprinda doar numere irationale.

Daca a, b sunt intregi  ==>  Sunt rationale  ==>  Intre a si b exista un numar rational  ==>  exista un numar rational in intervalul (a, b)==>  Nu exista a, b care sa indeplineasca conditia.

Acelasi lucru se face si pentru a, b ∈ Q