Question

Explica de ce $a^{3}-a$ este divizibil cu 3 si cu 6!!

Answer 1

$a^{3}-a=a( a^{2}-1)=a(a+1)(a-1)$

Deci $a^{3}-a=(a-1)a(a+1)$ este produsul a trei numere naturale consecutive, deci clar este divizibil cu 3. Mai mult, dintre oricare 2 numere naturale consecutive unul va fi par, deci numarul este divizibil atat cu 3, cat si cu 2 (iar 2 si 3 sunt prime intre ele) => numarul este divizibil cu 6.

Pentru a demonstra ca produsul a 3 numere naturale consecutive (n, n+1 si n+2) este divizibil cu 3, se procedeaza astfel:

Numarul n poate da resturile 0,1,2 la impartirea la 3. Altfel spus, $n= M_{3};~n= M_{3}+1 ~sau ~ n= M_{3} +2.$
Pentru primul caz, n este divizibil cu 3, si prin urmare si produsul.
Pentru al doilea caz, (n+2) este divizibil cu 3, si prin urmare si produsul.
Pentru al treilea caz, (n+1) este divizibil cu 3, si prin urmare si produsul.