Question

f:[0,3], f(x)={x}(1-{x}), {x} - partea fractionara a lui x
Determinati punctele in care functia nu este derivabila.
Va rog, n-am idee cum se rezolva.

Answer 1

Răspuns:

Avem relația $\{x\}=x-[x]$. Atunci

$f(x)=(x-[x])(1-x+[x])$

Explicitând în funcție de partea întreagă, avem

$f(x)=\begin{cases}x(1-x), & x\in[0,1)\\(x-1)(2-x), & x\in[1,2)\\(x-2)(x-3), & x\in[2.3)\\0, & x=3\end{cases}=\begin{cases}-x^2+x, & x\in[0,1)\\-x^2+3x-2, & x\in[1,2)\\-x^2+5x-6, & x\in[2,3]\end{cases}$

Funcția este continuă pe $[0,3]$ și derivabilă pe $[0,3]-\{1,2\}$

$f'(x)=\begin{cases}-2x, & x\in[0,1)\\-2x+3, & x\in(1,2)\\-2x+5, & x\in(2,3]\end{cases}$

Limitele laterale ale derivatei în $x=1$ și $x=2$ sunt diferite, deci derivatele laterale în cele două puncte sunt diferite, deci funcția nu e derivabilă în 1 și 2.

Explicație pas cu pas: