Question

f:(0,∞) --> R
f(x) = $x-\frac{3}{x}$

$f^{-1}(2) = ?$


Stiu ca era o formula, dar am uitat-o.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Cand functia duce pe x in valoarea y, inversa duce pe y in valoarea x.

Nu este nevoie sa calculam inversa, ci suficient sa vedem ce x este dus in punctul 2.

Rezolvam ecuatia

$f(x) = 2\\x-\frac{3}{x} =2 \\Inmultim\ cu\ x\ (avem\ voie\ pt\ ca\ x \in(0, \infty ))\\x^2-3=2x\\x^2-2x-3=0\\\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16=4^2\\x_{1,2}=\frac{-(-2) \pm \sqrt{4^2} }{2\cdot(1)}=\{3;-1\}\\ Dar\ x\in(0,\infty)\ deci\ x = 3\\Verificam\\f(3) = 3 - \frac{3}{3}=2$

Am gasit ca pentru x = 3, functia il duce pe x in valoarea 2. Inversa functiei il va duce pe 2 in 3, adica

$f^{-1}(2)=3$

Answer 2

$f:(0,+\infty) \to \mathbb{R} \\ \\ f(x) = x-\dfrac{3}{x} \\ \\ f^{-1}\Big(f(x)\Big) = x\quad (\text{identitate})\\ \\ \Rightarrow f^{-1}\Big(x-\dfrac{3}{x}\Big) = x\\ \\ \text{Fac}\,\,\,x = 3 \Rightarrow f^{-1}\Big(3-\dfrac{3}{3}\Big) = 3 \Rightarrow \boxed{f^{-1}(2) = 3}\\ \\ \text{Nu puteam face } x = -1,\text{ deoarece }x>0.$