Question

f:(0;+∞)-> R, $f(x)= \frac{x^{4} }{4} - ln(x)$
a) Derivata functiei
b) punctul de extrem al functiei
c) sa se demonstreze ca $ln \sqrt{x} \leq \frac{x^{2}-1}{4}$ pt x apartine (0;+∞)

Answer 1

a)f `(x)=4x³/4-1/x=x³-1/x
b) Rezolvi  ecuatia f `(x)=0
x³-1/x=0
(x^4-1)/x=0
(x²-1)(x²+1)/x=0   x²+1>0∀x>0
x²-1=0
x1=-1<0 nu  se   accepta
x2=1 solutie
Calculezi  semnul  lui  f `(x) de-o  parte   si  de   alta   a  lui   1
Pt  x∈(0,1) F `(X)<0 
x>1 f `(x)>0 =>  x=1   punct  de   extrem (minim)
c)fie g(x)=ln√x-(x²-1)/4    g:(0,∞)→R
g `(x)=1/2√x)*1/√x-2x/4=1/2x-x/2=(1-x²)/2x
g `(x)=(1-x²)/2x=0 x1=-1<0  nu se  accepta,  x2=1
pt  x∈(0,1) g `(x)>0  si  pt x>1  g `(x)<0 =>x=1  punct de  maxim
Adica  g(1)=0 >g(x) ∀x>0=> g(x)<0
ln√x-(x²-1)/4<0=>
ln√x<(x²-1)/4  concluzia