Question

f:(0,infinit) cu valori în R
f(x)=xlnx
1) calculați integrala de la 1 la e din f(x)•1pe lnx dx
2) calculați aria suprafeței plane cuprinse în Gf , axa Ox și dreptele x=1 și x=e

Answer 1

f(x)*1/lnx=x*lnx/lnx=x
I=∫xdx=x²/2+c
2)x∈[1,e]
Aria=∫x*lnxdx=
se  rezolva  prin  parti
lnx=u  dx/x=du
dv=xdx  v=∫xdx=x²/2
Aria=x²/2*lnx-∫x²/2*dx/x=x²/2*lnx-1/2∫xdx=
[x²/2lnx-1/2*x²/2] 1↑e=(e²/2*lne-1/4*e²)-(1/2ln1-1/4*1)=
e²/2-e²/4*-(-1/4)=1/4(e²+1)