Question

f:[0,+infinit)->R, f(t)=1$\frac{1}{(1+ t^{2})(1+ t^{3}) }$
a) Sa se demonstreze ca $\int\limits^1_ \frac{1}{x} {f(t)} \, dt$= $\int\limits^x_1 { t^{3} f(t)} \, dt$
b) Calculati:
$\lim_{x \to \infty} \int\limits^x_ \frac{1}{x} {f(t)} \, dt$

Answer 1

a) Faci schimbarea de variabila t = 1/u => dt = (-1/$u^{2}$)du; daca t =1/x => u = x si daca t =1 => u =1;

b) Separi integrala ceruta de la limita in suma de doua integrale definite( cu tot cu limite);
folosesti subpuncul a); dupa calcule vei ajunge la $\lim_{x \to \infty} \int\limits^x_1 { \frac{1}{1+ t^{2} } } \, dt$ = $\lim_{x \to \infty} (arctgx - arctg1) =$ = π/2 - π/4 = π/4.