Question

f: (0, infinit) -> R
f(x) = 80x/(x^2+22x+36)

Sa se determine valoarea maxima a functiei.

Answer 1

f'(x)=-80(x²-36)/(x²+22x+360)²;
f'(x)=o⇔x=-6, x=6
Semnul derivatei intai e dat de semnul numaratorului : -x²+36
       x                      -∞        -6           0            6                       +∞
............................................................................................................
   f'(x)                       ---------0+++++++++++++0-------------------
.............................................................................................................
     f(x)                                              0 cresc. 40/17 descresc   0

Pe (0,+8) avem x=6 punct de extrem si valoarea maxima a functiei este 40/17

Answer 2

Aici iti trebuie doua informatii
1) atunci cand f '(x)<0, functia este strict descrescatoare
daca f '(x)=0, atunci x este un punct extrem, iar daca f '(x)>0, atunci functia este crescatoare pe acel domeniu
2) Trebuie sa stii sa faci derivata unei fractii de functii
$(\frac{f}{g})'='frac{f'g-fg'}{g^{2}}$

Sa incepem: facem derivata functiei respective

$f '(x)=\frac{(80x)'*(x^{2}+22x+36)-(80x)*(x^{2}+22x+36)'}{(x^{2}+22x+36)^{2}}$
Hai sa calculam numai denumitorul deocamdata
$(80x)'*(x^{2}+22x+36)-(80x)*(x^{2}+22x+36)'=80(x^{2}+22x+36)-80x(2x+22)=80(x^{2}+22x+36-2x^{2}-22x)=80(36-x)=80(6-x)(6+x)$
Dupa cum vezi, denumitorul este ridicat la patrat, deci nu o sa conteze cand comparam f '(x) cu 0
Mai mult, stim ca x>0, atunci termenul 6+x este mereu pozitiv
Deci f' '(x) va avea acelasi semn precum ecuatia (6-x) cand x>0
Avem urmatoarele cazuri
x<6, (6-x)>0, atunci f' '(x)>0, f(x) este crescatoare
 x>6, (6-x)<0 atunci f' '(x)<0. f(x) este descrescatoare

Daca f(x) creste pana la f(6) si apoi coboara, inseamna ca f(6) este valoarea maxima a functiei

$f(6)=\frac{80*6}{6*6+22*6+36}=\frac{480}{204}=\frac{40}{17}$ este valoarea maxima