Matematică, întrebare adresată de bmihai1878pbjtgn, 8 ani în urmă

f : (0; +infinit) -->R
f(x)=x^3 - 24lnx
Arătati că ecuatia f(x)=0 are 2 solutii reale si distincte.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de boiustef
0

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Functia f(x) este o suma de doua functii elementare, continuie pe domeniul ei de definitie, deci f(x) e continue pe (0;+∞).

Cercetam proprietatile functiei cu ajutorul derivatei.

f'(x)=(x^{3}-24*lnx)'=3x^{2}-24*\frac{1}{x}\\Sa~cautam~puncte~de~extrem,~f'(x)=0,~deci~3x^{2}-24*\frac{1}{x}=0 ~|,*x~deoarece~x>0,~obtinem,~3x^{3}-24=0,~3x^{3}=24,~x^{3}=8,~deci~x=2.\\

Pentru x<2, fie x=1, f'(1)=3*1-24*1=3-24=-21<0, deci pt x∈(0;2), f'(x)<0, deci functia este descrescatoare pe acest interval.

Pentru x>2, fie x=3, f'(3)=3*3²-24·(1/3)=27-8=19>0, deci pt x∈(2,+∞), f'(x)>0, deci f(x) creste pe acest interval. Deci x=2 este punct de minim.

Aflam coordonatele punctului in care functia atinge minim.

f(e)=e³-24·lne=e³-24·1=e³-24. deoarece 2,7<e <2,8, atunci (2,7)³<e³<(2,8)³, ⇒19,68<e³<22 |-24, ⇒-5<e³<-2, deci f(2)<0.

cand x⇒0, f(x)⇒+∞, cand x⇒+∞, f(x)⇒+∞.

Deci  ecuatia f(x)=0 are 2 solutii reale si distincte.

Alte întrebări interesante