Question

f:(1,∞)->R
f(x)=ln(x+1)-ln(x-1)
a)determinati asimptotele graficului f
b)calculati $\lim_{n \to \infty} xf(x)$

Answer 1

Domeniul  de  definitie  :
x+1>0  ,x-1>0  =>  x>1
asimptota  vericala 
x→1  x>1  lim  f(x)=ln2  -ln0=  ln2-∞=-∞
asimptota  orizontala
x→∞  lim  f(x)=lim  ln(x+1)/(x-1)=ln1=0
Axa  Ox  este  asimptota  orizontala  spre  +∞
b)x→∞ ,  lim  x*f(x) =lim  [ln(x+1)/(x-1)]^x=1^∞  Operatie  fara  sens
Prelucram  expresia  inainte  de  a  trece  la  limita.
se  aduna  si  se  scade  1  la  argumentul  logaritmului
ln  [1-1+(x+1)/(x-1)]^x=ln(1+2/(x-1)]^x
se  ridica  arg  logaritmului  ,  concomitent  la  puterea (x-1)/2  respectiv  2/(x-1).  Opbservi  ca  produsul  celor  2  exponenti  este  1  deci  expresia  ramane  nescimbata.Treci  la  limita
x→∞  l;im [ln(1+2/(x-1)]^(2/(x-1)]^2/(x-1)*x=e^lim2/x*(x-1)=e^0=1