Question

f,g:R->R, f(x)=x^2-x+1 si g(x)=ax+b.
Sa se det. a,b reale a.i. f compus cu g=g compus cu f.

Answer 1

f°g(x)=f(g(x))= f(ax+b)= a²x²+2abx+b²- (ax+b)+1=a²x² +(2ab-a)x +b²-b+1
g°f(x)=g(f(x))= g(x²-x+1)=a (x²-x+1)+b=ax²-ax+a +b

a²x² +(2ab-a)x +b²-b+1=ax²-ax+a +b
 pt ca 2 expresii (polinoame) sa fie identice , coeficientii puterilor tbuie sa fie respectiv identici

 a²=a
2ab=0
b²-b+1=a+b


sau
a²=a (1)
2ab=0 (2)
b²-b+1=a+b (3)

(1) duce la a=0 si a=1
pt a=0 inlocuind in (3) avem b²-b+1=b
b²-2b+1=0 b=1,

a=0; b=1
g(x) =1 , functie constanta; verifica 1° (x²-x+1)=1
(x²-x+1)°1=1-1+1=1.


pentru a=1, inlocuind in (2) rezulta b=0
 care verifica si ec (3)
decoi a=1, b=0  solutia    g(x) =x


Obs g(x) este functia identica , numita si 1x, elementul neutru la operatia de compunerte a functiilor; nu mai e cazul sa verificam

dec i  (a;b)∈{(0;10;(1;0)}