Question

f:R-->R
arătați ca imaginea funcției f(x)= x^2 +x+1/x^2 -x + 1 este intervalul [1\3,3]

Answer 1

Răspuns:

Fie

$f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=y\Rightarrow (y-1)x^2-(y+1)x+y-1=0$

Cum $x\in\mathbb{R}$, rezultă că ecuația trebuie să aibă soluții reale. Deci $\Delta\ge 0$

$(y+1)^2-4(y-1)^2\ge 0\Rightarrow (3-y)(3y-1)\ge 0$

$y_1=\dfrac{1}{3}, \ y_2=3\Rightarrow y\in\left[\dfrac{1}{3},3\right]=Imf$

Explicație pas cu pas: