Question

f:R->R, f este o funcție impară. Demonstrați că funcția g:R->R, g(x)=(f(x))² este pară.​

Answer 1

Pentru o functie impara: f(x) = -f(x).

Acum: g(x) = (f(x))²

Daca g(x) este para, trebuie sa aratam ca g(x) = g(-x).

Astfel, g(-x) = (f(-x))² = (-f(x))² = (f(x))² = g(x).

Deoarece g(x) = g(-x), rezulta ca g(x) este functie para.

Answer 2

f - impara daca si numai daca f(-x) = -f(x)

g - para daca si numai daca g(-x) = g(x)

oricare ar fi x din domeniul de definitie

Trebuie sa demonstram, altfel spus, ca g(-x) = g(x)

g(-x) = (f(-x))^2

Stim ca f(-x) = -f(x), deci :

g(-x) = (-f(x))^2 = (f(x))^2 = g(x), oricare ar fi x numar real.

Deci g este functie para.