Question

f:R->R , f(x) = 2x supra x^2+1 . Sa se demonstreze ca intregrala de la 0 la 1 din f^2(x)dx mai mic sau egal decat 4supra3

Answer 1

Salut,

0 ≤ x ≤ 1 => 0 ≤ x² ≤ 1=> 1 ≤ x² + 1 ≤ 2.

$\dfrac{1}{x^2+1}\leqslant 1\ \Big{|}\cdot 2x\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2+1}\leqslant 2x\ \Big{|}()^2\Rightarrow\\\\\Rightarrow\dfrac{4x^2}{(x^2+1)^2}\leqslant 4x^2\ \Big{|}\int\limits_0^1\Rightarrow\int\limits_0^1\dfrac{4x^2}{(x^2+1)^2}dx\leqslant\int\limits_0^1 4x^2dx\Rightarrow\\\\\Rightarrow\int\limits_0^1\dfrac{4x^2}{(x^2+1)^2}dx\leqslant \dfrac{4x^3}3\Bigg{|}_0^1\Rightarrow\int\limits_0^1\dfrac{4x^2}{(x^2+1)^2}dx\leqslant \dfrac{4}3.$

Simplu, nu ?

Green eyes.

P.S. Pe viitor, în loc de "f(x) = 2x supra x^2+1", te rog să scrii "f(x) = 2x supra (x^2+1)". Înțelegi de ce am scris parantezele ? Uimește-mă ! :-).