Question

f:R->R, f(x)=cos x + $\frac{x^2}{2}$
Demonstrati ca f(x)$\geq$ 1, pentru orice x ∈ R.

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

Consideram functi g(x)= f(x)-1 . Avem de aratat ca g(x) ≥ 0  .

g(x)=cos x +x²/2-1

g'(x)= -sin x+x    

g'(x) = 0  ⇔  x=sin x , deci x = 0 (se poate demonstra ca este solutia unica a ecuatiei)

x      |     -∞                      0                         ∞    

g'(x) |      -    -        -                    +         +

g(x)  |             ↓                0              ↑

lim ( x->-∞ )  g(x)=  lim (x-> ∞) g(x) =  ∞ ,deci x=0 este punct de extrem.

g(x) ≥ g(0)  ⇒ g(x) ≥ 0 ,adica f(x)≥ 1 ,ceea  ce trebuia sa demonstram.