Question

f : R -> R

f(x) =$\left \{ {{x^2-x+3, x \leq -1} \atop {4 -x, x \ \textgreater \ -1}} \right.$

Sa se arate inversibilitatea acestei functii.

Answer 1

o  functie  este  inversabila  daca  si  numai  daca  este  bijectiva
cazul  x≤-1
f(x)=x²-x+3  functia  de  grd  2   are  codomenul (-Δ /4a ,+∞)
Δ=b²-4ac=1-12=-11
-Δ/4a=-(-11/4)=11/4
f(-1)=1+1+3=5 =>pt x≤≤-1  im f=[5 ,∞)⊂(11/4 ,∞)
Pt  x>-1 atunci  4-x<5
Imf=(-∞, 5)U[5  +∞)=R  =>  f  este  surjectiva
injectivitatea
 Caz  X≤-1  f(-∞, -1]=[5 ,+∞)  functia  f  este  descrescatoare  pe  acest  interval  si  atinge  val  minima  in  x=-1
pT  X.>-1  functiiia est  monoton  descrescatoare  ,  verificam  daca  exista  x1<-1  si  x2>-1  a.i  f(x1)=f(x2)
4-x<5  <5≤x²-x+3  deci  egalitate  inposibila  =>
f(x1)≠f(x2) ∀x∈R
f  este  bijectiva  deci  inversabila
  fun