Question

f:R->R, f(x)=x^2-5x+10. Imaginea intervalului [1,3] prin functia f este ?


Care sunt pasii pentru aflarea imaginii intervalului functiei f? Nu am facut nimic de genu prin liceu iar asta ar fi la admitere la facultate.

Answer 1

trebuie sa studiezi monotonia functieide grad 2,pecare ai facut-o
stii clar ca aceasta functiedac ar fidefinita pe tot R ar avea imaginea [-Δ/4a; ∞) pt ca a=1>0
Δ=25-40=-15 (deja stim ca TOATE valorile functiei vorfi strict pozitive
deci imaginea intregii functii ar fi [15/4;∞)
functia este simetrica fat de -b/2a=-(-5)/2=5/2

acum restrictionand functia pe intervalul [1;3]
 observi ca 5/2∈[1;3] deci imaginea va plexca de la valoarea minima [15/4;/]  am inchios intervalul la ambele capete;  la 15/4 , pt ca acest minim este atins, iar la celalalt capat,  pt ca exista si f(1)si f(3)
acum sa vedem care va fi mai mare f(1) sau f(3), ptca acela va fi capatul intervalului
cum 5/2 este mai departatde 1decatde 3 , f(1) va fi mai mare
dar vom verifica
 functia descreste de la f(1) la f(5/2)=15/4 si creste de la minimul 15/4 la f(3)

f(1)=1-5+10=-4+10=6
f(3) =9-15+10=9-5=4, asa cum ne asteptam f(3)<f(1)

deci intervalul cautat , imaginea functiei, este  [15/4; max(f(1);f(3))]=[15/4;6]

ai anexate 2 grafice aproximativ la desene, dar cu valori corecte,