Question

f(x)= e^x(x^2+2x+2)
Să se demonstreze că f este crescătoare pentru orice x ∈ R

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Funcţia e definită pe R. Pentru ca f(x)  să fie crescătoare pe R, derivata ei tr. să fie pozitivă pe R.

$f'(x)=(e^{x}(x^{2}+2x+2))'=(e^{x})'(x^{2}+2x+2)+e^{x}(x^{2}+2x+2)'=e^{x}(x^{2}+2x+2)+ e^{x}(2x+2)=e^{x}(x^{2}+2x+2+2x+2)=e^{x}(x^{2}+4x+4)=e^{x}(x+2)^{2}$

Deci f'(x)≥0, pentru x∈R. Rezulta ca f este crescatoare pentru orice x ∈ R, deoarece e^x >0, iar (x+2)²≥0