Question

f(x) = $2^x +3^x -4$ daca x apartine ( -∞ ,1)
si $\frac{x^2-x+1}{x^2}$ daca x apartine [1,∞)
demonstrati ca f(x) <= 1 oricare x apartine R

Answer 1

Cazul 1: Presupunem că x aparține în (-inf, 1).

$f(x) = 2^{x} +3^{x} - 4 < 2 + 3 - 4 = 1$

Cazul 2: Presupunem că x aparține [1, inf)

$f(x) = \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} -\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \implies \frac{df}{dx} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = (\frac{1}{x^{2}})(1 - \frac{2}{x}) = \frac{1}{x^{2}}(\frac{x-2}{x})$

$\frac{df}{dx} < 0 \text{ pentru }x \in (1, 2) \text{, iar } \frac{df}{dx} > 0 \text{ pentru }x \in (2, \infty)$

Funcția noastră atinge maximul de 1 pe (1, 2) și minimul de 0.75 pe același interval.

Pe intervalul (2, infinit) aceasta este monotonic crescătoare însă are ca asimptotă orizontală valoarea y = 1, deci f(x) <= 1 pentru orice x.