Question

F(x)=x^4-4x+4
Demonstrați ca funcția f are un simgur punct de minim

Answer 1

f(x)= x^4 - 4x + 4

f´(x)= 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1) = 4(x-1)(x^2 + x + 1)

Ecuatia atasata celei de-a doua paranteze,

x^2 + x + 1 = 0 are discriminantul Δ=1-4= -3 < 0 ⇒ are solutii complexe si astfel x^2 + x + 1 > 0

Derivata de ordin unu are deci o unica radacina reala din x-1=0, x=1.

Facem semnul derivatei intai:

x -∞.......................1...................+∞

f´(x) - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +

Deci functia scade strict pana in x=1 si apoi este strict crescatoare, deci x=1 este unicul punct de MINIM al functiei.