Question

F(x) =x-lnx si f(x)=1-1/x . Cum se calculeaza integrala de la 1 la 2 din F(x) * f(x)

Answer 1

F(x)*f(x)=(x-lnx)*(1-1/x)=x-1-lnx+lnx/x  x>0
I=∫(x-1-lnx+lnx/x)dx  x∈[1,2]
I1=∫xdx=(x²/2)/1↑2=Leibniz Newton=(4/2-1/2)=3/2
I2=∫dx=(-x)1↑2=(-2+1)=-1
I3=∫lnxdx  x∈[1,2] se  rezolva  prin parti
u(x)=lnx  u `(x)=1/x  dv=dx  v=x
I3=x*lnx-∫xdx/x=xlnx-∫dx=[xlnx-x]1↑2=(2ln2-2)-(1*ln1-1)=2ln2-2+1=ln4-1
I4=∫lnxdx/x= se  rezolva  prin parti
u(x)=lnx  u `(x)=dx/x
dv=dx/x  +> v=lnx
I4=lnx*lnx-∫lnxdx/x=ln²x-I4=>
2*I4=ln²x
I4=1/2ln²x 1↑2=1/2*(ln²2-ln²1)=1/2*ln²2
I=I1-I2-I3+I4=3/2-(-1)-ln4+1+1/2Ln²2
7/2-ln4-1/2*ln²2