Question

f = X³-2X²-2X+1
Demonstrați că (x2+x3)(x3+x1)(x1+x2)= -3 unde x1,x2,x3 sunt rădăcinile polinomului f.

Answer 1

fie suma radacinilor =s si produsul acestora =p
atunci relatia devine
(s-x1) (s-x2) (s-x3) = s³-s² (x1 +x2+ x3) + s (x1x2+ x2x3 +x3x1) -p=
s³-s³+s (x1x2+ x2x3 +x3x1) -p=
0+2(-2)-1=-4+1=-3

Answer 2

F=(x³+1)-2x(x+1)
Dar (x³+1)=(x+1)(x²-x+1)
=>F=(x+1)(x²-x+1)-2x(x+1)
    F=(x+1)(x²-x+1-2x)
    F=(x+1)(x²-3x+1)
x²-3x+1=[x-(3-√5)/2][x-(3+√5)/2]
Δ=5
√Δ=√5
x₁=(3-√5)/2
x₂=(3+√5)/2
=>solutiile lui F sunt x₁=(-1)
                                 x₂=(3-√5)/2
                                 x₃=(3+√5)/2

[(3-√5)/2 + (3+√5)/2]·[(3+√5)/2 -1]·[(3-√5)/2-1]=
3 · (1+√5)/2 · (1-√5)/2 =
3 · (1-5)/4 =
3 · (-1) =
(-3) Adevarat.