Question

Factorizare

$Dac\u{a} \ n \in \mathbb{N}, \ arat\u{a}\ c\u{a}\ urm\u{a}toarele\ numere \ naturale \ sunt \ compuse: \\ a)\ n(n+4)(n+2)^2+3;\\b)\ n(n-4)(n-2)^2-5.$

Nu știu cum să o abordez.

Answer 1

a) Orice numar natural are una din formele: 3k; 3k+1 sau 3k+2.
Daca n=3k => n este divizibil cu 3 => $n(n+4)(n+2) ^{2} +3$ este divizibil cu 3 => numar compus.
Daca n=3k+1 => $(n+2)^{2} =(3k+3) ^{2}$ este divizibil cu 3 => $n(n+4)(n+2) ^{2} +3$ este divizibil cu 3 => numar compus.
Daca n=3k+2 => $n+4=3k+6$ este divizibil cu 3 => $n(n+4)(n+2) ^{2} +3$ este divizibil cu 3 => numar compus.

b) Voi nota cu $n^{2}-4n=a.$ 

$n(n-4)(n-2) ^{2} -5=( n^{2}-4n)( n^{2} -4n+4)-5=a(a+4)-5= \\ = a^{2}+4a-5= a^{2} +5a-a-5=a(a+5)-(a+5)=(a+5)(a-1) \\ =( n^{2}-4n+5)( n^{2}-4n+1)=numar~compus.$