Question

fia a,b,c numere naturale astfel incat 2a-5b=7c. demonstrati ca a+b divizibil cu 7 si b+c divizibil cu 2

Answer 1

2a - 5b = 7c, deci:

7 | (2a - 5b) , adica:
7 | 2(2a - 5b) = 4a - 10b, dar
7 | 7(b - a) = 7b - 7a si adunand ultimele doua relatii obtinem:

7 | -3(a+b)
Cum (7;3)=1, adica 7 si 3 sunt nr prime intre ele, rezulta ca 7 | (a+b)

2a=5b+7c, deci:
2 | (5b+7c) si cum 5 si 7 sunt nr impare, rezulta ca: pentru ca suma (5b+7c) sa fie para, trebuie ca b si c sa fie ori ambele pare (si atuci avem suma para de numere pare), ori ambele impare (si atunci avem suma para de numere impare), adica b si c au aceeasi paritate, deci suma (b+c) este para, adica (b+c) este divizibila cu 2.