Question

Fie A=( 1+1/2)•(1+1/3)•....•(1+1/2011) si B=(1-1/2)•(1-1/3)•....•(1-1/2013) a)Calculati A si B b)Demonstrati ca A•B<0,5

Answer 1

Succes!

................

Answer 2

A = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*....*(1+1/2011) = 
   = 3/2*4/3*5/4*6/5*....*2011/2010*2012/2011 = 
   = 2012/2 = 1006  (numaratorul fiecarui termen  se simplifica cu numitorul urmatorului termen, raman doar numitorul primului factor si numaratorul ultimului factor)

B = (1-1/2)*(1-1/3)*...*(1-1/2013) = 
   = 1/2 * 2/3 * 3/4 * 4/5 *.... * 2011/2012 * 2012/2013 = 
   = 1/2013   (numitorul fiecarui termen se simplifica cu numaratorul urmatorului termen, raman doar numaratorul primului termen si numitorul ultimului termen)

A*B = 1006 * 1/2013 = 1006/2013
2013:2 = 2013 x 1/2 = 2013/2 = (2012+1)/2 = 1006 si 1/2
Numaratorul 1006 este mai mic decat jumatatea numitorului (1006 si 1/2), deci A*B < 0,5 = 5/10 = 1/2