Question

Fie a= 1+3+ 3 la a 2 + 3 la a 3 + ...+ 3 la 65
a) Aratati ca a e nr par
b) Aratati ca a e divizibil cu 13

Answer 1

a). 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ...... 3^n = [3^(n+1) - 1] / (3 - 1)
Asadar, 1 + 3 + 3^2 + 3^3 +........+ 3^65 = (3^66 - 1) / 2
Observam ca 3^1 = 3; 3^2 = 9; 3^3 = 27; 3^4 = 81; 3^5 = 243 etc. (ultima cifra va fi 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 etc.), deci 3^66 este un numar impar. Daca scadem 1 dintr-un nr. impar, obtinem un nr. par, iar un numar par impartit la 2 va fi tot un numar par. Rezulta ca (3^66 - 1) / 2 este divizibil cu 2.

b). Pentru numarul 3^66 = 3^(64+2), unde 64 este divizibil cu 4, observam ca ultima cifra va fi ca la 3^2, adica cifra 9. Asadar, 9-1 = 8 (ultima cifra la numarator), iar 8 / 2 = 4, care este ultima cifra a nr. (3^66 - 1) / 2.
Dar 13*2=26; 13*3=39; 13*4=52, 13*5=65, 13*6=78, 13*7=91, 13*8=104.
Observam ca 13*8=104; 13*18=234; 13*28=364, adica orice numar care se termina cu cifra 8, inmultit cu 13, ne va da un numar care se termina cu cifra 4.
Calculam puterile lui 9: 9^1=9 si 9-1 =8; 9^2=81 si 81-1=80; 9^3=729-1=728 si 9-1=8. In concluzie, numarul 9 ridicat la o putere impara va fi un numar care se termina cu cifra 8, iar 8/2 = 4, deci ultima cifra a numarului (9^33 - 1) / 2 este 4. Astfel, numarul va fi divizibil si cu 13.