Question

Fie a=1+3+3² +3³ +...+ 3; a Arătaţi că a este număr par. b Arătaţi că a este divizibil cu 13.​

Answer 1

1+3+3²+3³+...+3⁶⁵

= 3⁰+3¹+3²+3³+...+3⁶⁵

{0,1,2,3,...,65} - 66 de termeni

Intr-o adunare cu numai numere impare, avem doua cazuri de paritate pentru suma:

I. Par daca numarul termenilor este par.

(3+3+3+3=12, 1+3+5+7=16)

II. Impar daca numarul termenilor este impar. (1+3+5=9, 1+3+1=5)

Avem un numar par de termeni (66), deci avem o suma para, deci a - par

b) 1+3+3²+3³+...+3⁶⁵

= 1(1+3+3²)+3³(1+3+3²)+...+3⁶³(1+3+3²)

= (1+3+3²)(1+3³+3⁶+...+3⁶³)

= 13(1+3³+3⁶+...+3⁶³) => a divizibil cu 13