Question

Fie a=1+3+9+27+...+3 la puterea 65

a) Aratati ca a este nr par
b)Aratati ca a este divizibil cu 13
AJUTATI-MA VA ROG!

Answer 1

a = 1 + 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁶⁵ 
                  suma de  66  termeni 
a.   grupam cate doi   ⇒   33 grupe 
          a  = ( 1 + 3)  + 3² ·( 1 + 3)  + .... +3⁶⁴ ·( 1 + 3¹) 
          a =       4        + 3²· 4 +  3⁴ ·4 + 3⁶· 4 + ... + 3⁶⁴· 4 
          a = ( 1 + 3² + 3⁴ + 3⁶ + ... + 3⁶⁴ ) · 4   =  numar par 
                             4 =  numar par  
b.    66 termeni grupati cate 3  ⇒  22 grupe 
           a= ( 1 + 3 + 3² ) + ( 3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + ( 3⁶³ + 3⁶⁴ + 3⁶⁵ ) 
           a =          13         + 3³ ·( 1 + 3¹ + 3² ) + .... + 3⁶³ ( 1 + 3¹ + 3² ) 
            a =          13         + 3³·  13 + .................... + 3⁶³ · 13 
            a = (  1 +  3³  + 3⁶ + 3⁹ + ..... + 3⁶³ )· 13 se divide cu 13