Question

Fie a = 1+3+$3^{2}$+$3^{3}$+.....+$3^{65}$
a) Aratati ca a este numar par
b)Aratati ca a este divizibil cu 13

Answer 1

1+3=4
3²+3³=3²(1+3)*3²=9*4
3^4+3^5=3^4*(1+3)=3^4*4
--------------------------------------------
3^64+3^65=3^64*(1+3)  3^64*4
adui  membrul  stang  si  membrul  drept  si  dai  4  factor  comun
a=1+3+3^2+3^3+...+3^65=4*(1+3^2+3^4+...+3^64)     -evident  divizibil  cu  4  ,  deci  si  cu  2  .  deci  a  numar  par
b)Grupezi   termenii  3  cate  3
(1+3+3^2)+(3^3+3^4+3^5)+...+(3^63+3^64+3^65)=13+3^3*(1+3+3^2)+...+3^63(1+3^2+3^3)=13+3^3*13+...+3^63*(13)=13*[1+3^3+...+3^63]  divizibil  cu  13