Question

Fie A(-2,0),B(4,0),C(0,6) varfurile unui triunghi.Sa se determine:
1.Coordonatele punctului de intersectie a bisectoarei interioare a unghiului A cu latura opusa.
2.Lungimea bisectoarei
Ma poate ajuta cineva?

Answer 1

Stabilim ecuațiile:

AB:  $y=0$

AC:  $\frac{x+2}{2}=\frac{y}{6}\Rightarrow y=3x+6$

BC:  $\frac{x-4}{4}=\frac{y}{6}\Rightarrow y=\frac{3}{2}x-6$

Fie :  $\alpha$ -unghiul pe care îl face AB cu axa Ox;
 $\beta$  -unghiul lui AC cu axa
și $\gamma$  -unghiul bisectoarei cu axa.

Atunci $\gamma=\frac{ \alpha + \beta }{2}.$

Din primele două ecuații rezultă:
$\text{tg } \alpha =0 \Rightarrow \alpha =0 \\ \text{tg } \beta =3\Rightarrow \beta =\text{arctg 3} \\ \\ \Rightarrow \gamma=\frac{\text{arctg 3}}{2}.$

Atunci panta bisectoarei va fi $m=\text{tg }\left(\frac{\text{arctg 3}}{2}\right)$ . Aici, poți să mai faci calcule trigonometrice ca să afli exact valoarea lui m, dacă se cere un răspuns exact.

Având panta bisectoarei și știind că trece prin A, putem afla ecuația sa:
$y=m(x+2).$

În sfârșit, putem afla punctul de intersecție formând un sistem din ecuațiile:
$\left\{{y=\frac{3}{2}x-6}\atop {y=m(x+2)} \right$

Obținem $x=\frac{12-4m}{3-2m}$

$y=\frac{3(6-2m)}{3-2m}-6.$

Acestea sunt coordonatele punctului de intersecție.

Distanța o afli aplicând pur și simplu formula distanței dintre două puncte: punctul A și punctul acesta de intersecție.