Question

fie A=(2+2^2+2^3+....+2^2009)+(7+7^2+7^3+...+7^2009)+(9+9^2+9^3+...+9^2009),arătați că A nu este patrat perfect

Answer 1

Patratele perfecte nu au ultima cifra 2,3,7 sau 8;
Asa ca o sa analizam ultimele cifreale sumelor.
u.c. a puterilor se repeta din 4 in 4=>

2009:4=502 rest 1

u.c   a sumei : 2+2^2+2^3+....+2^2009 este  2 pt ca
(2+4+8+6)*502+2=20*502+2


u.c   a sumei : 7+7^2+7^3+...+7^2009 este  7 pt ca
(7+9+3+1)*502+7=20*502+7

u.c   a sumei : 9+9^2+9^3+...+9^2009 este  9 pt ca
(9+1+9+1)*502+9=20*502+9

=>Adumand u.c ale sumelor obtinem U.C.  2+7+9 este  8
Nici un patrat perfect nu are ultima cifra 8.