Question

fie a=2^3 +2^3+2^4+2^5+.........+2^100 si b=1/1+2+3+......+128 +1/1+2+3+.....+129+.....+1/1+2+3+4+.....+511. Aratati ca produsul axb este numar natural.

Answer 1

A=2^3+2^3+2^4+2^5...+2^100

Scriem primul 2^3=8=2+2+4=2+2^1+2^2

A=2+2^1+2^2+...+2^100

Știm ca 2^1+2^2+..2^n=2^(n+1) -2

A=2+ 2^101-2=2^101

2 și 101 sunt numere naturale deci un nr natural ridicat la puterea unui nr natural va da un nr natural. .a=nr natural

B este format din 3 sume

S1= 1/1+2+3+..+128

S2=1/1+2+3+..+129

S3=1/1+2+3+..+511

Știm ca 1+2+3+..+n=n (n+1)/2

S1=128×129/2=64×129=8256 nr natural

S2=129×130/2=129×65=8385 nr natural

S3=511×512/2=511×256=130816 nr natural

B= s1+s2+S3 suma a 3 numere naturale va da un nr natural deci b=nr natural

DC a și b numere naturale rezulta ca a×b va fi tot un nr natural