Question

Fie a=3+3^2+3^3+...+3^60.Aratati ca a este divizibil cu : 2;4;13;40.

Answer 1

suma de 60 termeni 
grupati cate doi           a =( 3+3² ) + ( 3³ + 3⁴ ) +... + ( 3⁵⁹ + 3⁶⁰)
                                  a = 3( 1+3)    + 3³( 1+3) +.... +3⁵⁹( 1+3) 
                                             ↓                   ↓                  ↓
                                             4                   4                  4    de 30 ori
                                  a = 4 ( 3 +3³ +3⁵ +3⁷+...+ 3⁵⁹ ) se divide cu 2 , 4 
grupati cate trei          a = (3 +3² +3³) + (3⁴+3⁵+3⁶) +...+( 3⁵⁸+3⁵⁹+3⁶⁰)
                                 a  =     39 +  3³ (3 +3²+3³ ) +...+3⁵⁷( 3+3²+3³ ) 
                                                              ↓                        ↓
                                            39              39                    39 de   20 ori 
                                            39 = 3· 13  ⇒  se divide cu 13 

grupati cate 4              a =( 3 +3²+3³+3⁴ ) +(3⁵+3⁶+3⁷+3⁸)+.. +( 3⁵⁷+3⁵⁸+3⁵⁹+3⁶⁰)
                               a = 120           +3⁴( 3+3²+3³+3⁴ ) +..+3⁵⁶(3+3²+3³+3⁴ ) 
                                                                ↓                              ↓
                                     120                120        ....           120  de 15 ori 
                                     120 = 40 · 3     ⇒ se divide cu 40