Question

Fie A=8+8^2+8^3+...+8^2011
a) Ce rest da A la impartirea cu 13?
b) Aratati ca A-2011 este divizibil cu 17

Answer 1

Fie A=8+8^2+8^3+...+8^2011

a)Sunt 2011 termeni.

2011=4•502+3

1+8+8^2+8^3=9+64+512=585=13•45

Lasam primii 3 termeni liberi, si grupam restul termenilor cate 4.

A=8+8^2+8^3+8^4•(1+8+8^2+8^3)+….+8^2008•(1+8+8^2+8^3)

A=72+512+585•(8^4+8^8+….+8^2008)

A=584+13•45•(8^4+8^8+….+8^2008)

13•45•(8^4+8^8+….+8^2008) este divizibil cu 13

=> restul impartirii lui A la 13 este dat de restul impartirii lui 584 la 13

584:13=44 rest 12

restul=12

b)A=(7+1)+(7+1)^2 +(7+1)^3+….+(7+1)^2011

A=M7+1+M7+1+M7+1+….+M7+1

sunt 2011 termeni => 2011 de 1

A=M7+2011

=> A-2011=M7

A-2011 este divizibil cu 7