Question

•Fie A=8+8 la puterea a 2 + 8 la puterea a 3 + ..... + 8 la putere 2011
a)Ce rest dă A prin împărțire la 13
b) Arătați că (A-2011) divizibil cu 7

Ofer 35 de puncte !

Answer 1

Ai omis sa scrii 8^0, asa cum ai scris tu nu se poate rezolva .

a) A = (8^0 + 8^1 + 8^2 + 8^3) + (8^4 + 8^5 + 8^6 + 8^7) + ... + (8^2008 + 8^2009 + 8^2010 + 8^2011)

Suma are 2012 termeni si de aceea grupam termenii cate 4 .

A = (8^0 + 8^1 + 8^2 + 8^3) × 1 + (8^0 + 8^1 + 8^2 + 8^3) × 8^4 +... + (8^0 + 8^1 + 8^2 + 8^3) × 8^2008

A = (8^0+8^1+8^2+8^3) × (1 + 8^4 +... + 8^2008)

A = 585 × ( 1 + 8^4 + ... + 8^2008)

A = 13 × 45 × (1 + 8^4 +...+ 8^2008) divizibil cu 13 =>

=> restul = 0
___________


b) Ca A - 2011 sa fie divizibil cu 7 trebuie ca

A = M7 + 2011 = M7 + 2

stim ca suma are 2012 termeni, grupam cate doi termenii :

A = (8^0 + 8^1) + (8^2 + 8^3) + ... + (8^2010 + 8^2011)

A = (8^0 + 8^1) × 1 + (8^0 + 8^1) × 8^2 +... + (8^0 + 8^1) × 8^2010

A = (8^0 + 8^1) × ( 1 + 8^2 + .. + 8^2010)

A = 9 × ( 1 + 8^2 +... + 8^2010)

A = (M7 + 2) × ( 1 × 8^2 +...+ 8^2010)

A = M7 + 2 =>

=> A - 2011 = M7 => divizibil cu 7
_________________________

Answer 2

Poza conține rezolvarea.