Question

Fie A aria suprafetei cuprinsa intre axa Ox si parabola de ecuație y= x (la puterea a 2 a) -4x+3. Sa se arate ca 1 < A < 2

Answer 1

Avem functia de gradul 2:
$f(x)=x^2-4x+3$

Si vrem sa calculam aria determinata de graficul functiei si dreapta OX.
Pentru asta avem nevoie de intersectia cu axa OX, adica rezolvam ecuatia

$f(x)=0 \\ x^2-4x+3-0 \\ \Delta=16-12=4 \\ x_1=3 \\ x_2=1$

Am aflat ca graficul functiei intersecteaza axa OX in punctele 1 si 3. Mai stim ca fiind functie de gradul al doilea, are semnul coeficientului lui x patrat in afara radacinilor si semn opus intre radacini, adica in cazul nostru functia ia valotri negative intre 1 si 3.

Aria este
$A= \int\limits^3_1 {|f(x)|} \, dx = \\ \int\limits^3_1 {(-x^2+4x-3)} \, dx = \\ - \frac{x^3}{3}|_1^3+4 \frac{x^2}{2}|_1^3 -3x|_1^3 = \\ -9+18-9+ \frac{1}{3} -2+3= \frac{4}{3} \\ A= \frac{4}{3} \\ \frac{3}{3}\ \textless \ \frac{4}{3}\ \textless \ \frac{6}{3} \\ 1\ \textless \ A\ \textless \ 2$