Fie a, b, c ∈ℝ astfel încât a + b + c = 1. Arătaţi că cel puțin unul dintre numerele a + bc, b+ca, c+ab aparţine intervalului [0, ∞).
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
0
Sa presupunem ca a+b+c = 1.
Atunci (a+bc)(b+ac)(c+ab) = (bc-b-c+1)(ac-a-c+1)(ab-a-b+1) = (a-1)^2 (b-1)^2 (c-1)^2 >= 0. (demonstratie - tema)
Deci avem (a+bc)(b+ac)(c+ab) >= 0, care este concluzia problemei.
atlarsergiu:
buna, oare ai putea te rog explica mai mult cum am facut dupa primul egal? Mersi!
ai făcut*
Pai de exemplu a+bc = bc-b-c+1 pentru ca a = 1-b-c, din ecuatia din ipoteza a+b+c=1.
Si ca sa ajungi la forma cu patratele HINT: bc-b-c+1 = (b-1)(c-1)
Rezultatul final (a+bc)(b+ac)(c+ab) >= 0 implica faptul ca unul dintre factori este nul sau unul este > 0 si ceilalti doi < 0 sau toti factorii sunt > 0, ceea ce respecta concluzia problemei ca minim unul dintre acele numere sa fie >= 0.
Alte întrebări interesante
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Limba rusă,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă