Question

Fie A,B,C,D patru puncte necoplanare si E,F,G,H,M,N mijloacele laturilor AB, BC, CD, AD, AC si BD, in aceasta ordine. Aratati ca :a) EFGH este paralelogram 
b) ENGM este paralelogram 
c) HNFM este paralelogram
d) dreptele EG, HF, MN sunt concurente

Answer 1

a) HE, EF,GF,HG sunt linii mijlocii in triunghiurile ADB,ABC,BCD,CDA
HE II DB    si GE II DB  deci HE II GE  si egale cu DB/2
HG II AC    si EF II AC  deci HG II EF  si egale cu AC/2
rezulta ca EFGH este paralelogram -laturi paralele si congruente

b)EN , NG,GM,EM linii mijlocii in triunghiurile ABD,DBC,CAD,ACB
EN II AD  si GM II AD deci EN II GM si egale cu AD/2
NG II BC  si EM II BC deci NG II EM si egale cu BC/2
rezulta ca ENGM este paralelogram -laturi paralele si congruente

c)HN , NF,FM,MH linii mijlocii in triunghiurile DAB,DBC,ACB,ADC
HN II AB  si MF II AB deci HN II MF si egale cu AB/2
NF II DC  si MH II DC deci NF II MH si egale cu DC/2
rezulta ca HNFM este paralelogram -laturi paralele si congruente