Question

Fie a,b,c lungimile laturilor unui triunghi.
1.Daca a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca atunci triunghiul este echilateral.
2.Stiind ca a=3cm sa se determine:Inaltimile acestui triunghi;Aria triunghiului !!
Dau coroana Pls

Answer 1

Inmultim cu 2 si ducem termenii in partea cealalta
$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab+2bc+2ac\Rightarrow a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}=0$
Orice numar la patrat este mai mare sau egal decat 0
$k^{2}\geq 0$ cu egalitate daca k=0 ceea ce inseamna ca toate cele 3 sunt egale cu 0
$a-b=0\Rightarrow a=b$
$b-c=0\Rightarrow b=c<span>$
Avem atunci
$a=b=c=l$ deci triunghiul este echilateral
2) inaltimile triunghiului sunt toate egale cu h
$h=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
iar aria este
$A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$