Question

Fie a, b, c numere intregi nedivizibile cu 3.
Aratati ca $\sqrt{a^2^0^1^4+b^2^0^1^6+c^2^0^1^8+2}$ este irational

Answer 1

Singura idee care-mi vine acum in minte este urmatoarea:

Vedem forma generala a unui patrat perfect $n^{2}$ din punct de vedere al divizibilitatii cu 3: Pentru n avem urmatoarele forme posibile (din pct de vedere al divizibilitatii cu 3):
Daca n=3k, atunci $n^{2}$=9$k^{2}$=M3  (adica este multiplu de 3)
Daca n=3k+1, atunci $n^{2}$=M3 + 1 (adica este multiplu de 3 la care se adauga 1)
Daca n=3k+2, atunci $n^{2}$=M3 + 4=M3 + 3 + 1 = M3 + 1 (adica este tot multiplu de 3 la care se adauga 1)

Deci observam ca un patrat perfect nu poate avea forma (M3 + 2), iar daca n nu este divizibil cu 3, atunci $n^{2}$ ia doar forma M3 + 1.

Cum a, b si c nu sunt divizibile cu 3, inseamna ca ele au una din formele 3k+1 sau 3k+2.
Puterile impare ale acestor numere vor avea, de asemenea, una din formele 3p+1 sau 3p+2.
Puterile pare ale lui a, b si c vor avea, asadar, doar forma 3q+1  (am aratat mai sus de ce).

Vedem ca sub radical toate puterile lui a, b, respectiv c sunt pare, deci rezultatele acestor puteri vor avea doar forma M3+1.

Asadar:

=

$\sqrt{M3+1 + M3+1 + M3+1 +2}$=

$\sqrt{M3+5}$=

$\sqrt{M3+2}$, care nu are solutii numere rationale, deoarece M3+2 de sub radical nu poate fi patrat perfect.