Question

Fie a,b,c, numere naturale nenule in progressie geometrica. Stiind ca a+b+c este un numar par, sa se arate ca numerele a,b,c sunt pare.

Answer 1

Notez cu q ratia progresiei si cu p=a+b+c.Atunci:
p=a+b+c
p=a+a*q+a*q²
p=a(1+q+q²)
p=a[q(q+1)+1]
Si de aici avem ca p este numar par(stim din ipoteza),iar q(q+1)+1 este impar,deaorece  q(q+1) este par fiind produsul a doua numere consecutive adunate cu 1 devine impar. De aici rezulta ca este obligatoriu ca a sa fie par.
Atunci b=a*q, deci si b este par.
c=b*q ,ceea ce inseamna ca c este si el par.Deducem ca a,b,c sunt toate trei par