Question

Fie A,B,C puncte pe un cerc de centru O , astfel incat coardele AB=BC=CA.
a) demonstrati ca triunghiul ABC este echilateral
b) determinati masura unghiului BOC
c) Demonstrati ca AO perpendicular pe BC
Rog seriozitate ! Raspunsurile nejustificate vor fi sterse ! Multumesc!

Answer 1

Am atasat desenul.

a) Intrucat AB=BC=CA este evident ca triunghiul ΔABC este echilateral (avand toate laturile de lungimi egale).

b) Cum intr-un triunghi echilateral centrul de greutate este si ortocentru, si centru de greutate, si centrul cercului inscris (adica intersectia bisectoarelor), el este si centrul cercului circumscris triunghiului.
Deci, in problema noastra, O este centru cercului circumscris triunghiului echilateral ΔABC, deci O este si intersectia bisectoarelor. Adica:

m(<OBC)=m(<OCB)=30 grade.

In ΔOBC, cum suma unghiurilor unui triunghi este 180 grade, rezulta ca:

m(<BOC)=180-30-30=120 grade.

c) O este ortocentru (punctul de intersectie a inaltimilor) in triunghiul echilateral ΔABC, deci AO perpendicular pe BC.