Question

fie a,b,c trei numere intregi,pozitive,astfel incat ab < c. aratati ca a+b mai mic sau egal cu c

Answer 1

Mai intai demonstram ca:
$a+b\leq ab+1$
Ducem totul in partea din stanga
$a-ab+b-1\leq 0\Rightarrow a(1-b)-(1-b)\leq 0\Rightarrow (1-b)(a-1)\leq 0$
a si b sunt numere intregi pozitive atunci
$a\geq 1\Rightarrow a-1\geq 0$
$b\geq 1\Rightarrow 0\geq 1-b<span>$
Deci daca le inmultim pe cele doua, obtinem relatia de mai sus
$(1-b)(a-1)\leq 0<span>$ Se confirma. Deci prima relatie este adevarata. Acum ne folosim de relatia data in text
$ab<c\Rightarrow ab\leq c-1$ pentru ca produs de numere intregi pozitive da tot nr pozitiv intreg
Atunci
$a+b\leq ab+1\leq c-1+1=c$