Question

fie a,B numere reale astefl incat sin(a)+sin(b)=1 si cos(a)+cos(b)=1/2 . Determinați cos(a-b)​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Răspuns:

$cos(a - b) = \frac{-3}{8}$

Explicație pas cu pas:

Datele problemei:

Fie a, b ∈R astfel incat sin(a) + sin(b) = 1 si cos(a) + cos(b) = 1/2 .

Ce se cere?

Sa se afle cos(a-b)​.

Formule utilizate:

Formula fundamentala a trigonometriei:

$sin^2a + cos^2a = 1$

Formula pentru cos(a - b):

$cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)$

Folosim relatiile date in enunt:

sin(a) + sin(b) = 1       $| ( \:) ^2$        => $sin^2a+sin^2b + 2sin(a)sin(b) = 1$        (relatia 1)

cos(a) + cos(b) = 1/2  $| (\:)^2$        => $cos^2a+cos^2b + 2cos(a)cos(b) = \frac{1}{4}$       (relatia 2)

Adunam relatiile 1 si 2 si obtinem:

$sin^2a+sin^2b + 2sin(a)sin(b) + cos^2a+cos^2b + 2cos(a)cos(b) = 1 + \frac{1}{4} \\\\Grupam \: convenabil\: termenii \: si \: rescriem$

$sin^2a+cos^2a+sin^2b + cos^2b + 2sin(a)sin(b)+2cos(a)cos(b) = \frac{5}{4} \\\\ Cum \:\: sin^2a+cos^2a = 1 \: \: si\:\:sin^2b + cos^2b = 1, \: avem\: ca:\\ \\ 1 +1 + 2sin(a)sin(b)+2cos(a)cos(b) = \frac{5}{4} \\ \\ 2sin(a)sin(b)+2cos(a)cos(b) = \frac{5}{4} - 2= \frac{-3}{4} \\\\\\ Noi\: vrem \:sa\: calculam :sin(a)sin(b)+cos(a)cos(b) \\ \:\: deci\: vom\: imparti \:prin\: 2\: relatia \:de\: mai\: sus.\\sin(a)sin(b)+cos(a)cos(b) = \frac{-3}{4 * 2} = \frac{-3}{8} \\ \\ \\ => cos(a - b) = \frac{-3}{8}$