Question

Fie a, b numere reale pozitive. Sa se arate ca:
$a) \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} }{2} }$
$b) \frac{a+b}{2} - \sqrt{a*b} \geq \sqrt{a*b} - \frac{2*a*b}{a+b}$
$c) \sqrt{a*b} \leq \frac{ \frac{a+b}{2}+ \frac{2*a*b}{a+b} }{2} \leq \frac{a+b}{2}$
VA ROG!!!! REPEDE!!!!

Answer 1

a) Ridicam la patrat si obtinem:
[tex]\frac{(a+b)^2}{4}\leq\frac{a^2+b^2}{2}\Leftrightarrow(a+b)^2\leq2(a^2+b^2)\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\leq2(a^2+b^2)\\ \Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\ ($adevarat, vezi cealalta postare$)\\ [/tex]

b)
[tex]m_a-m_g\geq m_g-m_h\Leftrightarrow\frac{m_a+m_h}{2}\geq m_g\\ $Aplicam inegalitatea dintre media geometrica si aritmetica pentru$\\ m_a,\ m_h: \frac{m_a+m_h}{2}\geq\sqrt{m_a\cdot m_h}=m_g\\[/tex]

c) Prima parte a inegalitatii este:
$m_g\leq \frac{m_a+m_h}{2}$
pe care am demonstrat-o la punctul precedent.
A doua inegalitate este evidenta deoarece membrul stang (expresia din mijloc) reprezinta media aritmetica dintre media aritmetica si cea armonica a numerelor a si b. Si stim ca media aritmetica a doua numere este mai mica sau egala cu cel mai mare dintre numere respectiv media aritmetica dintre a si b (in cazul nostru).