Question

Fie a,b ∈R astfel incat cos a +cos b=p , sin a+sin b=q.Aratati ca cos(a+b)=(p²-q²)/(p²+q²)

Answer 1

Salut,

p² = (cosa + cosb)² = cos²a + 2*cosa*cosb + cos²b

q² = (sina + sinb)² = sin²a + 2*sina*sinb + sin²b

p² + q² = cos²a + 2*cosa*cosb + cos²b + sin²a + 2*sina*sinb + sin²b = sin²a + cos²a + sin²b + cos²b +2*(cosa*cosb + sina*sinb) = 2 + 2*cos(a -- b).

Deci p² + q² = 2 + 2*cos(a -- b) (1)

p² -- q² = cos²a + 2*cosa*cosb + cos²b -- sin²a -- 2*sina*sinb -- sin²b = cos²a -- sin²a + cos²b -- sin²b +2*(cosa*cosb -- sina*sinb) = cos(2a) + cos(2b) + 2*cos(a + b) = 2*cos[(2a+2b)/2]*cos[(2a--2b)/2] + 2*cos(a + b) = 2*cos(a+b)*cos(a -- b) + 2*cos(a + b) = cos(a + b)*[2 + 2*cos(a -- b)].

Deci p² -- q² = cos(a + b)*[2 + 2*cos(a -- b)] (2).

Dacă împarți membru cu membru relația (2) la relația (1) și simplifici cu 2 + 2*cos(a -- b), atunci obții chiar relația din enunț.

Învață formulele de la trigonometrie !

Green eyes.