Question

Fie a, b $\displaystyle\\\in \mathbb{R}$ astfel încât a + b = 2π. Arătați că $\displaystyle\\sin \ a \ \cdot\ sin \ b \leqslant 0$

Answer 1

$a + b = 2\pi\implies \: a = 2\pi - b \\ \\ \sin(a)\cdot\sin(b) \leq0 \\ \sin(2\pi - b)\cdot\sin(b) \leq0 \\ \sin( - b + 2\pi)\cdot\sin(b) \leq0 \\ \sin( - b)\cdot\sin(b) \leq0 \\ - \sin(b) \cdot\sin(b) \leq0 \\ - \sin(b) {}^{2} \leq0 \\ \sin(b) {}^{2} \: \: \text{este \: mereu \: pozitivă \: sau \: 0} \\ \implies - \sin(b) {}^{2} \leq0 \: \: \text{este \: adevarata} \\ \implies \: \boxed{b\in\mathbb{R}}$

$\text{la \ \: partea \: cu \: sin(} - b + 2\pi) \\ \text{am \: folosit \: formula : \: } \\ \boxed{\sin(t\pm2k\pi) = \sin(t) \: , \: k\in\mathbb{Z}}$