Fie A = cu 8 + 8 la a doua + 8 la a treia +.........+ 8 la 2011 . Arătați că (A-2011) este divizibil cu 7
Răspunsuri la întrebare
a)
Cautam sa grupam termenii cate 2,3 sau 4 etc pana gasim un multiplu de 3.
Adica 8+64=72 convine pentru ca 72=3*24
Prin urmare, studiem suma A:
-are 2011 termeni
-grupand cate 2 termeni, obtinem 1005 grupe, fiecare grupa reprezentand un multiplu de 3
-dand 3 (sau 72) factor comun in cele 1005 grupe, obtinem ca A este multiplu de 3
adica, A=3*N
de aici, restul impartirii lui A la 3 este 0.
Insa o grupa ramane lipsa si anume 8^2011 deci restul impartirii lui A la 3 este egal cu restul impartirii lui 8^2011 la 3.
8^2011:3=8^2010*8:3 si restul se obtine din 8:3=2 rest 2
b)
Vom distribui cate un -1 (avem 2011 de -1) pentru fiecare din cei 2011 termeni.
Avem:
A-2011=(8-1)+(8^2-1)+(8^3-1)+.....+(8^2011-1)
A-2011=7+[(7+1)^2-1]+[(7+1)^3-1]+.....+[(7+1)^2011-1]
A-2011=7+(M7+1-1)+(M7+1-1)+...+(M7+1-1)
A-2011=7+M7+M7+.....+M7
A-2011=M7
Prin urmare, numarul A-2011 este divizibil cu 7.
Observatie:
Notatia M7 este o notatie generica pentru un multiplu a lui 7. Nu este, evident, acelasi multiplu.
Sper ca te-am ajutat!
Succes la scoala! :)