Question

Fie:
a) f: R-> , f(x) =4x^2-1
b) f:R->, f(x) = 2x^2-18.
Pentru fiecare dintre acestea să se :
a) Determine punctul de extrem
b) Calculeze f(3)
c) Rezolve ecuația f(x) =0
d) Monotonia funcției
e) Determine x pentru care f(x) > 0

Am nevoie de o rezolvare corectă și clară va rog!!!!Cât mai repede !​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) f : R -> R, f(x) = 4x² - 1

coeficienții sunt a = 4 , b = 0 și c = -1

• punctul de extrem are coordonatele ( -b/2a, -Δ/4a )

calculăm Δ = b² - 4ac

Δ = 0² - 4 · 4 · (-1) = 16

- b / 2a = 0

- Δ / 4a = - 16 / 4·4 = - 1

coordonatele punctului de extrem (vârful graficului funcției) sunt:

V (0, -1)

• f(3) = 4 · 3² - 1 = 4 · 9 - 1 = 36 - 1

f(3) = 35

• rezolvarea ecuației f(x) = 0:

am aflat deja Δ = 16 > 0 ⇒ avem două rădăcini reale

aflăm rădăcinile:

x₁ = (- b - √Δ) / 2a = - √16 / 2·4 = - 4 / 2·4 = - 1 / 2

x₂ = (- b + √Δ) / 2a = √16 / 2·4 = 4 / 2·4 = 1 / 2

• monotonia funcției:

a = 4 > 0 și V(0, -1)

⇒ f(x) este strict descrescătoare pentru x ∈ (-∞, 0)

   f(0) = - 1

   f(x) este strict crescătoare pentru x ∈ (0, +∞)

• x pentru care f(x) > 0

a = 4 > 0 ⇒ funcția este convexă, adică punctul de extrem este punctul de minim al funcției (graficul este cu ramurile în sus, iar între rădăcini graficul este sub axa Ox)

⇒ f(x) > 0 pentru x ∈ R - [x₁, x₂], unde x₁ și x₂ sunt rădăcinile ecuației f(x) = 0

⇔ f(x) > 0 pentru x ∈ (-∞, -1/2) ∪ (1/2, +∞)

b) f : R -> R, f(x) = 2x² - 18

coeficienții sunt a = 2 , b = 0 și c = -18

• punctul de extrem are coordonatele ( -b/2a, -Δ/4a )

calculăm Δ = b² - 4ac

Δ = 0² - 4 · 2 · (-18) = 144

- b / 2a = 0

- Δ / 4a = - 144 / 4·2 = - 18

coordonatele punctului de extrem (vârful graficului funcției) sunt:

V (0, -18)

• f(3) = 2 · 3² - 18 = 2 · 9 - 18 = 18 - 18

f(3) = 0

• rezolvarea ecuației f(x) = 0:

am aflat deja Δ = 144 > 0 ⇒ avem două rădăcini reale

aflăm rădăcinile:

x₁ = (- b - √Δ) / 2a = - √144 / 2·2 = - 12 / 4 = - 3

x₂ = (- b + √Δ) / 2a = √144 / 2·2 = 12 / 2·2 = 3

• monotonia funcției:

a = 2 > 0 și V(0, -18)

⇒ f(x) este strict descrescătoare pentru x ∈ (-∞, 0)

   f(0) = - 18

   f(x) este strict crescătoare pentru x ∈ (0, +∞)

• x pentru care f(x) > 0

a = 2 > 0 ⇒ funcția este convexă, adică punctul de extrem este punctul de minim al funcției

⇒ f(x) > 0 pentru x ∈ R - [x₁, x₂], unde x₁ și x₂ sunt rădăcinile ecuației f(x) = 0

⇔ f(x) > 0 pentru x ∈ (-∞, -3) ∪ (3, ∞)