Question

Fie A ∈ Mₙ(R) cu proprietatea ca A³=A. Aratati ca

rang(A)+rang(A-Iₙ)+rang(A+Iₙ)=2n .

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$A^3=A\iff A^3-A=0$, adică $p=x^3-x$ este um polinom anulator, ceia ce inseamnă că $p(A)=0_n$. Mai bine, $p=x(x-1)(x+1)$. Polinomul minim $p_m$ are proprietatea de a împărți orice polinom anulator. De aici avem $p_m\mid p$. Tot o proprietate a polinomului minim ne garantează că

$\forall x\in\mathbb{R}\quad \Big(p_m(x)=0\iff p_c(x)=0\Big)$

unde $p_m$ este polinomul caracteristic matricei în analizare. Putem deci conclude că matricea $A$ are maxim 3 valori proprii: $0,-1,1$. Tot printr-o proprietate a polinomului minim, se știe că dacă se descompune în factori lineari diferiți 2 câte 2, v-a însemna că suma dimensiunii spațiilor proprii va fi egală cu $n$ care este dimensiunea matricei, adică, în cazul nostru v-a arăta așa:

$\text{dim}M_0+\text{dim}M_{-1}+\text{dim}M_{1}=n$

unde $M_{\lambda}:=\left\{X\in \mathbb{R}^n:\: AX=\lambda X\right\}$.

O altă proprietate din algebră liniară ne zice că

$\text{dim}M_{\lambda}=n-r(A-\lambda I_n)$.

Pentru încheiere, vom avea deci:

$r(A)+r(A+I_n)+r(A-I_n)=n-\text{dim}M_0+n-\text{dim}M_{-1}+n-\text{dim}M_1=3n-\underbrace{(\text{dim}M_{0}+\text{dim}M_{-1}+\text{dim}M_{1})}_{=n}=2n$.

Cer iertare pentru româna mea. Nu învăț într-o țară de limba română de 8 ani.